2. Переменные, нуждающиеся в стохастическом моделировании

Очень важным шагом в процессе построения подходящей к случаю модели является идентификация ключевых случайных переменных, воздействующих на финансовые потоки обязательств и активов. Затем нужно решить моделировать ли все эти переменные или только некоторые из них, как это делать, и как моделировать взаимосвязи между ними. На выбор здесь влияют наши предпочтения между недостаточной аккуратностью модели и ее излишней сложностью, которая зачастую выглядит как снижение прозрачности.

Риски, воздействующие на финансовое положение, страховой компании в имущественном страховании могут быть систематизированы различными способами. Например, их можно разделить на риски, связанные только с активами, связанные только с обязательствами, и риски, зависящие от взаимосвязи активов и обязательств. Мы считаем, что модель ДФА как минимум должна рассматривать, как минимум, следующие риски:

• Ценовой или андеррайтинговый риск ( риск неадекватности премий );
• Риск резервов (риск недостаточности резервов);
• Инвестиционный риск ( риск флуктуаций инвестиционных доходов и прироста капитала );
• Катастрофический риск.

Мы также могли бы выделить кредитный риск, связанный с отказом страховщика выполнять обязательства, валютный риск и некоторые другие. Детальное обсуждение влияния валютных рисков на перестрахование смотрите в Blum, Dacorogna, Embrechts, Neghaiwi, Niggli [5]. Важной частью ДФА модели является взаимная зависимость между различными категориями рисков, в частности между рисками возникающими в активе, и рисками пассивов. Риск убытков для компании, которые запускаются изменениями процентной ставки, называется риском процентной ставки. Мы вернемся к вопросу моделирования взаимосвязей в секции 5.1. Наш выбор переменных для построения модели основан на приведенной выше систематизации рисков.

Ключевым модулем модели ДФА является генератор процентных ставок. Во многих моделях предполагается, что вся модель управляется процентной ставкой, как это показано например на рисунке 4.1. Генератор процентных ставок ( или генератор экономических сценариев, как иногда его называют, чтобы подчеркнуть далеко идущее воздействие % ставки ) необходим, если мы хотим разрешить проблему оценки риска процентной ставки. Более того, страховые компании в рисковом страховании весьма сильно зависят от поведения процентных ставок, поскольку значительная часть из ресурсов обычно инвестирована в активы с фиксированной доходностью. При построении нашей модели мы будем считать, что между % ставкой и инфляцией, воздействующей на будущие величины убытков и их частоту, существует строгая корреляция. С другой стороны эти факторы будут влиять на будущие страховые тарифы. Более того, мы предполагаем наличие взаимосвязи между процентными ставками и доходами от вложений в акции, которые, в общем случае, являются важной составляющей инвестиционного дохода.

Со стороны обязательств мы выделим четыре явных источника случайности: не катастрофические убытки; катастрофические убытки; андеррайтинговые циклы; образцы списания убытков. Мы моделируем катастрофы отдельно, поскольку поведение статистических данных для катастрофических и обычных убытков различно. В общем случае, объем эмпирических данных для не катастрофических убытков гораздо больше, чем для катастрофических. Разделение этих двух видов риска приводит к тому, что данные для некатастрофических убытков становятся более однородными, а это упрощает аппроксимацию распределения убытков с помощью хорошо известных распределений, имеющих смещение вправо. К тому же наш подход к моделирования ДФА позволяет оценивать перестраховочные программы. Проверка различных значений собственного удержания или лимита ответственности перестраховщика возможна только в том случае, если наша модель позволяет генерировать достаточно крупные индивидуальные убытки. Кроме того, в настоящее время мы наблюдаем ускоренное развитие теории распределений экстремальных событий ( см. Embrechts, Klüppelberg, Mikosch [16]; McNeil [33] ). Исходя из всех этих фактов, мы решили, что моделирование катастрофических убытков отдельно от некатастрофических более правильно. Для каждой из этих двух групп число и размер убытков моделируются отдельно. Противоположный подход должен был бы аппроксимировать объединенное распределение величин убытков с помощью распределений с очень “тяжелым хвостом”.

Андеррайтинговые циклы являются важной характеристикой страховых компаний в имущественном страховании. Они отражают рыночные и макроэкономические условия, и представляют собой один из важнейших факторов, влияющих на результаты работы компании. Поэтому их полезно включить их в ДФА модель при ее разработке.

Убытки характеризуются не только не только их (полным) размером, но также тем как растянута их оплата во времени. Это свойство увеличивает неопределенность процесса убытков, за счет введения стоимости денег во времени и предположений о будущей инфляции. Как следствие, нужно моделировать не только величину и частоту убытков, но и неопределенности, возникающие в процессе их урегулирования. Чтобы учесть риск резервов, мы используем стохастические образцы развития резервов, в качестве средства, позволяющего нам оценивать резервы как на брутто- так и на нетто- базисе.

В начале статьи мы отмечали, что нашей целью было представить лишь рамочную модель ДФА. Конкретнее, это означает, что мы предложим модель, которая как нам кажется в состоянии помочь решить некоторые задачи, рассмотренные в Секции 1.4. Мы вовсе не требуем, чтобы компоненты модели, представленные в оставшейся части статьи, представляли высший стандарт ДФА моделей. Для каждого рассмотренного компонента модели существует множество альтернатив, которые могут оказаться более подходящими в конкретных ситуациях. Предоставить рамочную модель означает сделать нашу модель отправной точкой будущего моделирования, т.е. эту модель можно будет уточнять или улучшать в зависимости от нужд пользователя.

 

2.1. Процентные ставки

Следуя Daykin, Pentikäinen, Pesonen [15, с. 231] мы предполагаем строгую корреляцию между общеэкономической инфляцией и процентными ставками. Наш первый источник случайности – (мгновенные) краткосрочные процентные ставки. Эта переменная определяет доходность облигаций всех сроков погашения, а также общеэкономическую инфляцию и инфляцию для отдельных видов бизнеса.

Альтернативным подходом к моделированию процентных ставок и инфляции является модель Wilkie, которую можно найти в Wilkie [42] или в Daykin, Pentikäinen, Pesonen [15, pp. 242-250].

2.1.1. Краткосрочные процентные ставки

В финансовой экономике в настоящее время используется много различных моделей для процентных ставок. Возросло также число книг посвященных обзорам моделей процентной ставки. Мы предложили бы читателю заглянуть в Ahlgrim, D’Arcy, Gorvett [1]; Musiela, Rutkowski [35, с. 281-302] или Björk [4]., хотя возможны и другие источники. Окончательный выбор модели, которая будет описывать процентную ставку, оказывается непростым делом, учитывая все разнообразие имеющихся моделей. Поэтому, возможно, было бы полезно сформулировать некоторые общие свойства движения процентной ставки, которые мы взяли из Ahlgrim, D’Arcy, Gorvett [1]:

1. Волатильность доходности при разных сроках погашения меняется.
2. Направление движения процентной ставки меняется на обратное, когда ее значение переходит через среднее.
3. Процентные ставки для различных сроков погашения имеют положительную корреляцию.
4. Недопустимо, что бы процентная ставка становилась отрицательной.
5. Волатильность процентной ставки должна быть пропорциональна ее величине.

В дополнение к этим характеристикам процентной ставки приведем несколько замечаний, которые мы почерпнули в Rogers [36]. Согласно этому сточнику, модель процентной ставки должна быть:

• Достаточно гибкой, чтобы работать в большинстве ситуаций, возникающих на практике.
• Достаточно простой, чтобы результат можно было сосчитать с незначительными затратами времени.
• Правильно определенной, т.е. такой, чтобы входные параметры этой модели можно было получить или оценить из наблюдений.
• Реалистичной, чтобы она не делала глупостей.

Хорошо известно, что модели, отвечающей всем этим условиям не существует. Поэтому мы решили остановиться на однофакторной модели Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Эта модель принадлежит к классу моделей, базирующихся на состоянии равновесия, где мгновенная процентная ставка моделируется, как специальный случай процесса Ornstein’a-Uhlenbeck’a:

dr = k ( q – r )dt + s r^g dZ         (2.1)

Устанавливая g = 0,5 , мы получим CIR процесс, также известный как процесс с квадратным корнем ( square root process ):

dr_t = a ( b – r_t )dt + s r_t^0,5 dZ_t         (2.2)

Где r_t – мгновенная краткосрочная процентная ставка; b – долгосрочное среднее значение процентной ставки; а – константа, определяющая скорость стремления процентной ставки к своей долгосрочной средней величине b; s – волатильность процесса процентной ставки; (Z_t) – стандартный процесс Броуновского движения.

 

CIR – процесс, в котором % ставка меняет направление движения при переходе через среднее, где краткосрочные ставки остаются положительными почти наверняка. Более того, модель CIR позволяет построить аффинную модель временной структуры процентных ставок, делая ее более трактуемой. Однако в некоторых исследованиях показывалось (см. Rogers [36]), что однофакторной модели в общем случае не достаточно для удовлетворительного объяснения эмпирических данных и ограничения динамики во временной структуре. Было продемонстрировано, что многофакторные модели, например из Brennan, Schwartz [6] или из Longstaff, Schwartz [29] или модели полной доходности из Heath-Jarrow-Morton [20] являются более подходящими в этом смысле. Но такие модели гораздо сложнее приметь на практике. А наш выбор в пользу CIR модели основывался на практических соображениях. Во-первых, модель просто встроить в нашу модель ДФА; во-вторых, модель имеет неплохое соответствие с данными по рынку США; в-третьих, эта модель является стандартной и широко используется, например в США.

В действительности нас интересует динамика процентной ставки за некоторый период ( который проходит между двумя моментами, в которые моделируется состояние компании ). Поэтому мы дискретизируем реверсивную модель (2.2), что дает нам:

r_t = r_t–1 + a ( b – r_t–1 ) + s r_t–1^0,5 Z_t         (2.3)

Где r_t – мгновенное значение краткосрочной процентной ставки в конце года (периода) t; процесс Z_t задан на множестве натуральных чисел, причем каждая величина Z_t имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 1, a,b,s – те же, что в (2.2).

В Cox, Ingersoll, Ross [9] было показано, что процентные ставки, моделируемые с помощью (2.2), остаются положительными почти наверное. Но в дискретном случае, хотя вероятность того, что процентная ставка станет отрицательной, мала, но она не равна нулю. Чтобы избежать связанных с этим проблем мы преобразуем (2.3.) к виду:

r_t = r_t–1 + a ( b – r_t–1 ) + s r⁺_{t –1}^0,5 Z_t         (2.4)

Обобщением модели CIR будет следующая модель, где меняя g на 0,5 мы вновь получаем CIR:

r_t = r_t–1 + a ( b – r_t–1 ) + s r⁺_{t –1}^g Z_t         (2.5)

Эта обобщенная модель имеет большую гибкость при определении степени связи между условной волатильностью изменений % ставки, и ее уровнем.

Вопрос о приемлемом уровне g может привести нас к проблемам калибровки моделей, с которыми мы сталкиваемся в некоторых областях построения моделей ДФА. Фактически, эти проблемы играют доминирующую роль в ДФА, заставляя многих практиков утверждать, что весь ДФА крутится вокруг калибровки моделей. Калибровка модели краткосрочной процентной ставки есть определение параметров a,b,s и g в формуле (2.5) таким образом, что смоделированные спотовые процентные ставки ( базирующиеся на мгновенном значении ) соответствовали эмпирической временной структуре % ставок, полученной при анализе рыночных цен на финансовые инструменты. В Björk [4] эта процедура названа инверсией кривой доходности. Однако, параметры модели нельзя однозначно определить, исходя из эмпирической структуры % ставок и временной структуры волатильностей, так как аппроксимация несовершенна. Это общее свойство моделей процентной ставки, базирующихся на равновесии. Но, хотя это очень важно при оценке производных ценных бумаг, базирующихся на процентной ставке, воздействие данного свойства на долгосрочный ДФА весьма ограничено.

Что касается калибровки инфляционной модели, нужно отметить, что желательно строить модель инфляции опираясь на историю инфляции. Однако не ясно будет ли инфляция в будущем следовать модели, базирующейся на прошлых наблюдениях; а результаты ДФА вероятно будут сильно зависеть от предположений сделанных относительно динамики инфляции. Следовательно, этим предположениям нужно уделить некоторое внимание. Пренебрегая этим, Вы попадаете в одну из самых распространенных ловушек ДФА. Чтобы облегчить себе подбор параметров, нужно строить модели опирающиеся не только на статистические данные, но также на экономические обоснования и экспертные прогнозы будущего развития ситуации.

2.1.2. Временная структура

Исходя из выражения (2.2) мы рассчитали цены F(t, T, r_t) бескупонных облигаций, размещенных в момент t, по которым в момент t + T будет выплачена 1 денежная единица:

         (2.6)

Где

Доказательство этого результата можно найти в Lamberton, Lapeyre [27, сс. 129-133]. Заметьте, что оператор получения математического ожидания применен по отношению к мартингальной мере Q, что подразумевает, что равенство (2.2) выполняется при этой мере. Из (2.6) мы получаем смоделированную нами непрерывную структуру составных процентных ставок R_{t, T} по бескупонным облигациям в момент t:

R_{t, T} = –T ^–1 ln F(t, T, r_t) = T ^–1( r_t B_T – lnA_T )         (2.7)

 

2.1.3. Общеэкономическая инфляция

Моделирование оплаты убытков требует учета инфляции. Следуя нашим вводным замечаниям к Секции 2.1, мы будем моделировать инфляцию i_t используя (приведенную к годовому базису) краткосрочную процентную ставку r_t . Мы сделаем это, использовав линейную регрессионную модель зависимости инфляции от % ставки:

i_t = a^I + b^I r_t + s ^I e_t ^I         (2.8)

Здесь e_t^I – набор одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение; a^I , b^I , s^I – параметры, которые могут быть оценены с помощью метода наименьших квадратов при построении регрессии, основанной на данных наблюдений; индекс I будет использоваться для обозначения параметров связанных с общеэкономической инфляцией.

 

2.1.4. Изменения цен по видам бизнеса

Общая инфляция по-разному влияет на отдельные виды страхового бизнеса. Например, стоимость ремонта автомобиля изменяется во времени не так, как стоимость потерь от приостановки бизнеса. Величина убытков в некоторых видах страхования сильно зависит от принимаемых законодательных и судебных решений, например в страховании ответственности производителей. Это приводит к появлению наложенной инфляции в дополнение к общеэкономической. Больше информации по этому вопросу можно найти в Daykin, Pentikäinen, Pesonen [15, с. 215], а также в Walling, Hettinger, Emma, Ackerman [41].

Чтобы смоделировать изменение частоты убытков d_t ^F ( т.е. отношения числа убытков к числу застрахованных объектов ), изменение величины убытка d _t^X, а также их комбинации, d_t^P, мы будем использовать формулы:

d_t ^F = max{ a^F + b^F i_t + s ^Fe _t^F ; –1}         (2.9)
d_t^X = max{ a^X + b^X i_t + s^X s _t^X ; –1}         (2.10)
d_t^P = (1 + d_t^F)(1 + d_t^X) – 1         (2.11)

Где e _t^F и e _t^X суть независимые одинаково распределенные стандартные нормальные случайные величины. a^F , b^F , s ^F, a^X , b^X , s ^X – параметры регрессий, которые можно определить опираясь на статистические данные.

Переменные d _t^P представляют из себя изменения в трендах убытков, вызванные изменениями инфляции. d_t^P будут применены также к величинам премий так, как это будет показано в Секции 3. Их конструкция из (2.11) обеспечивает корреляцию между агрегативной величиной убытков и премиями, которую можно проследить, наблюдая динамику инфляции.

 

Технические ограничения величин d _t^F и d _t^X снизу необходимы, чтобы обеспечить неотрицательные значения числа и величины убытков.

Мы построили модель изменения числа убытков в зависимости от инфляции потому, что анализ эмпирических данных обнаруживает, что в специфических экономических условиях ( например, когда инфляция высока ) страхователи сообщают о большем количестве убытков в некоторых видах страхования.

Соответствующие накопленные изменения d _t^{F, c} и d _t^{X, c} можно рассчитать по формулам:

Где t₀ + 1 обозначает первый моделируемый год.

 

2.2. Доходы от акций

Основными классами активов для страховой компании в имущественном страховании являются активы, приносящие фиксированный доход, акции и недвижимость. Здесь мы ограничимся описанием модели, используемой для акций. Моделирование акций может начинаться либо с их цен, либо с приносимых ими доходов. ( Хотя в результате должны получиться эквивалентные модели. ) Мы будем использовать второй подход, поскольку в этом случае мы сможем использовать хорошо известную теорию о связи доходности акций и безрисковой процентной ставки; мы говорим о CAPM ( Capital Asset Pricing Model ), которую можно найти например в Ingersoll [22].

Чтобы применить САРМ, мы вначале должны смоделировать доход, приносимый портфелем, который представляет собой рынок в целом, рыночным портфелем. Предполагая существенную корреляцию между ценами акций и облигаций, и принимая во внимание многопериодность ДФА модели, мы приняли следующую линейную модель для доходности рынка акций в прогнозируемом году t при условии, что одногодичная % ставка в этот момент составляла R_{t, 1} :

E[ r_t^M | R_{t, 1} ] = a^M + b^M ( exp(R_{t, 1}) – 1)         (2.14)

Где ( exp(R_{t, 1}) – 1) безрисковый доход, см. (2.7.); a^M и b^M – параметры, которые могут быть определены, исходя из статистических данных при построении регрессии.

Поскольку мы выбрали продолжительность периода в модели один год, мы использовали в (2.14) однолетние процентные ставки. Заметьте, что r _t^M не нужно путать с мгновенной спотовой краткосрочной процентной савкой r_t, присутствующей в модели CIR. Отметьте также, что отрицательное значение b^Mозначает, что рост процентных ставок вынуждает ожидаемые цены акций падать.

Теперь мы применим формулу САРМ, чтобы получить условный ожидаемый доход для произвольной ценной бумаги S:

E[ r_t^S | R_{t, 1} ] = ( exp(R_{t, 1}) – 1) + b _t^S( E[ r_t^M | R_{t, 1} ] – ( exp(R_{t, 1}) – 1) )         (2.15)

Здесь b _t^S есть b-коэффициент из модели САРМ, равный D^–1r_t^M Cov(r_t^S , r_t^M ).

Если мы предположим, что динамика цен акций определяется геометрическим броуновским движением, то 1 + r_t^S имеет Логнормальное распределение.

1 + r_t^S ~ LogN( m_t , s² )         (2.16)

Причем для разных t величины r_t^S независимы. В формуле (2.16) m_t выбрано так, чтобы выполнялось равенство:

1 + E[ r_t^M | R_{t, 1} ] = exp(m_t + s²/2 )

А s² рассчитывается, исходя из статистических данных, как дисперсия для логарифма доходности акций в прошлом.

Мы вновь хотели бы подчеркнуть, что наш метод моделирования доходности вложений в акции является лишь одним из многих возможных подходов.

 

2.3. Убытки не являющиеся катастрофическими

Обычно, некатастрофические убытки в разных видах страхования возникают и оплачиваются иначе, чем катастрофические, смотрите вводные замечания к Секции 2. Поэтому мы будем моделировать эти типы убытков по отдельности, причем отдельно для каждого вида бизнеса. Для простоты в этой секции мы будем отбрасывать индексы обозначающие вид страхования.

Опыт показывает, что величина убытков зависит от возраста договора страхования. Феномен старения означает, что убыточность ( отношение ожидаемой величины убытка к заработанной премии ) уменьшается с возрастом ( количеством возобновлений ) договора страхования. По этой причине мы делим весь страховой портфель на три класса, как это было предложено в D’Arcy, Gorvett, Herbers, Hettinger, Lehmann, Miller [13]:

• Новые договора ( верхний индекс 0 ).
• Старые договора, возобновлявшиеся ровно 1 раз ( верхний индекс 1 ).
• Старые договора с двумя и более возобновлениями ( верхний индекс 2 ).

Больше информации о феномене старения можно получить в D’Arcy, Doherty [11], [12]; Feldblum [19]; или в Woll [44].

 

Вне зависимости от времени реального платежа, основными факторами случайности суммарной величины убытков будут число убытков и величины убытков, например смотрите Daykin, Pentikäinen, Pesonen [15]. Выбор специфического распределения для числа и величины убытков зависит от вида страхования и является результатом аппроксимации эмпирических данных распределением выбранного типа, которая сопровождалась предварительной коррекцией истории убытков ( приведение данных к годам возникновения убытков ). В этой секции мы продемонстрируем модель с использованием Отрицательного Биномиального ( NB ) распределения для частоты убытков и Гамма распределения для их величины.

Чтобы выполнить имитационное моделирование числа убытков N_t^j и их средней величины
X_t^j = ( X_t^j(1) + X_t^j(2)+ …+ X_t^j(N_t^j)) / N_t^j за период времени t для класса j мы используем средние величины m^{F, j} и m^{X, j}, а также стандартные отклонения s^{F, j} иs^{X, j}, полученные при анализе статистики частоты и величин убытков за прошлые годы. Мы также должны учитывать инфляцию и изменение числа рисков в портфеле. Поскольку частота убытков является более стабильной величиной, чем число убытков, мы решили использовать оценки параметров для частоты, в не для числа убытков.

В качестве примера распределения для числа убытков N_t^j мы возьмем отрицательное биномиальное со средним m_t^j и с дисперсией v_t^j. Обычно мы будем использовать символы m и v для обозначения среднего и дисперсии различных величин. Эти величины будут показываться верхним индексом ( N, X, Y ) приm и v.

N_t^j ~ NB(a, p)         (2.17)

Здесь все N_t^j независимы друг от друга. Параметры а и р выбраны так, чтобы

m_t^{N, j} = a(1– p)/p ; v_t^{N, j} = a(1– p)/p²         (2.18)

Причем m_t^{N, j} = w_t^j m ^{F, j} d _t^{F, c} и v_t^{N, j} = (w_t^js ^{F, j}d _t^{F, c} )². Где w _t^j – число рисков; m ^{F, j} – частота убытков, оцененная по статистическим данным; s^{F, j} – оцененное по тем же данным стандартное отклонение частоты; d _t^{F, c} – накопленное изменение частоты убытков, см. формулу (2.12).

 

Переменная N, имеющая Отрицательное Биномиальное распределение, обладает свойством сверхдисперсии: DN ³ EN. Следовательно использовать Отрицательное Биномиальное распределение при аппроксимации распределения числа убытков можно только, если v_t^j ³ m_t^j.

 

Статистические данные являются замечательным базисом для калибровки этой модели, но лишь за то время, в течение которого не происходило структурных изменений в рассматриваемом виде страхования (в портфеле страховщика). Если срок прошедший после последнего такого изменения недостаточен для получения надежной статистики, тогда, возможно, лучшим вариантом было бы явное рассмотрение данных о подверженности объектов страхования риску.

Дальше мы будем рассматривать пример, в котором частота убытков велика, а их величина мала. В связи с тем, что плотность Гамма распределения убывает по экспоненциальному закону, при соответствующем выборе параметров оно вполне может служить нашим целям.

X_t^j ~ Г( a , q )         (2.19)

Причем X₁^j , X₂^j , … независимы. Параметры a и q выбраны таким образом, что

m_t^{X, j} = a q; v_t^{X, j} = a q²

Где m_t^{X, j} = m ^{X, j} d _t^{X, c} и v_t^{X, j} = ( s^{X, j} d _t^{X, c} )²/ d _t^{F, c}. Среднюю величину убытка m ^{X, j} и ее стандартное отклонение s ^{X, j} мы рассчитываем на основании статистических данных. d _t^{X, c} и d_t^{F, c} рассчитываем по формулам (2.13) и (2.12) соответственно.

Умножая число убытков на их среднюю величину, а затем суммируя по трем классам, мы получаем их суммарный объем (исключая катастрофические убытки) для рассматриваемого вида бизнеса:
N_t⁰X_t⁰ + N_t¹X_t¹ + N_t²X_t².

 

2.4. Катастрофы

Теперь мы обратимся к убыткам, вызванным катастрофическими событиями такими, как штормы, наводнения, ураганы, землетрясения и т.д. В секции 2 мы отмечали, что мы могли бы объединить катастрофические и некатастрофические убытки, если бы использовали распределения “с тяжелым хвостом”, см. Embrechts, Klüppelberg, Mikosch [16]. Тем не менее мы решили рассматривать их по отдельности, по причинам указанным в секции 2.

Существуют различные способы моделирования числа катастроф, например, Отрицательное Биномиальное распределение, Пуассоновское распределение, Биномиальное со средним m^M и дисперсией v^M. Мы будем предполагать, что у числа катастроф нет никаких трендов.

M_t ~ NB, Pois, Bin ( . , .) : E M_t = m^M ; D M_t = v^M         (2.20)

Здесь m^M и v^M определяются, исходя из статистических данных за прошлые периоды; все M_t независимы.

 

В отличие от моделирования не катастрофических убытков, мы здесь будем моделировать стоимость суммарных экономических потерь ( а не только ту часть убытка, которую должна оплатить страховая компания ) для каждого катастрофического события i Î {1 … M_t } отдельно. Здесь также могут применяться различные распределения, которые подходят для данной цели, например Обобщенное Распределение Парето, GPD, G_{x , b}. В следующем выражении Y_t,iобозначает общие экономические потери, вызванные катастрофическим событием i в периоде t.

Y_t,i ~ logN, Парето, GPD( . , . ) : EY_t,i = m_t^Y ; DY_t,i = v_t^Y         (2.21)

Здесь все Y_t,i независимы, а при одинаковом t имеют одинаковое распределение. В формуле (2.21)
m_t^Y = m ^Yd _t^{X, c} ; v_t^Y = ( s^Y d _t^{X, c} )² ; величины m^Y и s^Y рассчитываются на основании статистики, а d_t^{X, c} берется из формулы (2.13).

 

После того, как произведено генерирование Y_t,i мы производим распределение суммарного убытка по видам страхования:

Y_t,i^k = a_t,i^k Y_t,i         (2.22)

Здесь k обозначает вид страхования. А для любого i из промежутка 1 … M_t вектор
(a_t,i^l , …, a_t,i^l ) Î { x Î [0 , 1]^l ; || x||₁ = 1 } Ì R^l , где l – общее число видов страхования, является случайной выпуклой комбинацией, чье распределение на l–1мерном тетраэдре может быть задано произвольным образом.

Моделирование коэффициентов a_t,i^k случайным образом приводит к изменению воздействия катастроф на различные виды страхования, от чего выигрывают компании, имеющие портфель, диверсифицированный в смысле количества видов страхования.

Знание рыночной доли компании и ее перестраховочной структуры позволяет рассчитать ее убытки при каждой из катастроф. Хотя случайные переменные генерируются независимо, однако в нашей модели появляется зависимость между видами страхования, связанная с тем, что на убытки в разных видах бизнеса воздействуют ( хотя и в разной степени ) одни и те же катастрофы.

 

2.5. Циклы Андеррайтинга

Более или менее нерегулярные циклические изменения результатов страховых операций, имеющие период несколько лет, являются существенной характеристикой рынка имущественного страхования при слабом регулировании рынка. Циклы могут существенно изменяться в разных странах, на разных рынках или в разных видах страхования. Иногда их появление скрывается путем сглаживания опубликованных результатов. Вероятно существует множество факторов, изменяющихся от периода к периоду, и могущих вызывать цикличность. Среди них мы отметим:

• Эффект временного лага в процедуре ценообразования.
• Тренды, циклы и краткосрочные колебания убытков.
• Флуктуации процентной ставки и рыночной стоимости активов.

Кроме уже введенных нами в модель циклических изменений, вызванных движением процентной ставки ( напомним, что краткосрочная процентная ставка является основным фактором, воздействующим на остальные параметры модели ), мы добавим модель описывающую цикличность премий, создаваемую стратегиями конкуренции. В этой секции мы опишем этот подход.

Мы используем модель (для дискретного времени) основанную на однородной Марковской цепи, подобную использованной в D’Arcy, Gorvett, Hettinger, Walling [14]. В каждом из прогнозируемых лет мы приписываем каждому виду страхования одно трех из возможных состояний конкуренции:

1. Слабая конкуренция.
2. Средняя конкуренция.
3. Сильная конкуренция.

В состоянии 1 (при слабой конкуренции) страховая компания старается установить высокие премии, зная что ее рыночная доля скорее всего вырастет не смотря на это. В состоянии 3 (при сильной конкуренции) страховщик вынужден согласится на низкий уровень премий, чтобы как минимум сохранить свою рыночную долю. При условии стабильности убыточности высокие премии эквивалентны высокой прибыли заложенной в страховой тариф сверх нетто-ставки; а низкие премии эквивалентны низкой прибыли. Переход рынка из одного состояния в другое может вызвать существенные изменения в премиях.

Вероятности перехода p_{i j} , которые являются вероятностями смены состояния конкуренции в конкретном виде страхования с i на j в течение одного года, принимаются одинаковыми для всего периода моделирования. Это означает однородность Марковской цепи. p_{i j} образуют матрицу Т:

 

 

Существует много различных способов задать вероятности перехода p_{i j} . Можно моделировать p_{i j} в зависимости от текущих рыночных условий для каждого вида страхования отдельно. Если компания занимается l видами страхования, то для нее существует 3^l состояний конкурентной среды. Поскольку деловые циклы для разных видов страхования сильно коррелированны, то из всех 3^l состояний в реальности возможно очень незначительное число. Следовательно, нам нужно смоделировать L << 3^l состояний, при условии, что вероятности перехода между этими состояниями остаются постоянными во времени. Вполне возможно, что некоторые из этих вероятностей равны нулю, поскольку могут существовать такие пары состояний, когда из первого из них невозможно перейти во второе напрямую. Итак, если возможны L достижимых состояний, то матрица T будет иметь размерность L ´ L :

Чтобы зафиксировать вероятности перехода в любом из отмеченных выше случаев, каждое i состояние должно рассматриваться по отдельности, и значения всем p_{i j} должны присваиваться так, чтобы
p_{i 1} + p_{i 2} + … + p_{i L} = 1 для любого i. После этого определяется стационарное распределение p к которому сходится распределение вероятностей нахождения системы в различных состояниях вне зависимости от его исходного состояния. Мы используем тот факт, что p = pТ , чтобы выяснить являются ли оцененные нами значения вероятностей перехода подходящими, поскольку проще оценить существующее в реальности распределение p, чем подобрать подходящие значения для p_{i j}. Поскольку оценка вероятностей перехода является делом чрезвычайно деликатным, то в ее процессе нельзя полагаться только на исторические данные, но нужно использовать весь свой опыт и знания.

Чтобы получить реалистичный финансовый прогноз для страховой компании, чрезвычайно важно корректно задать исходное состояние рынка.

 

2.6. Образцы Выплат

До этого мы рассматривали число убытков и их величины. Эта секция посвящена тому, как мы могли бы моделировать неопределенности процесса оплаты убытков, т.е. случайность времени платежа, о чем мы уже говорили в Секции 2. Мы в целом рассмотрим портфель убытков от отдельного вида бизнеса и соответствующие ему суммарные платежи за год в течение различных календарных лет ( или периодов развития ). Доли ( или их суммы ) от агрегативного убытка, произошедшего в некотором году формируютобразец выплат. Образец выплат есть вектор, длина которого соответствует принятому нами числу периодов, за которое происходит полное урегулирование убытков. i-ая компонента вектора соответствует доле оцененного полного убытка (на уровне портфеля в целом), который оплачивается в (i–1)ом году развития. Если мы рассматриваем выплаты, соответствующие убыткам произошедшим в году t, тогда i-ый год развития соответствует календарному году t+i.

Ниже мы будем обозначать год возникновения убытка t1, а год развития резерва – t2. Для упрощения формул мы будем отбрасывать индекс, обозначающий вид страхования в большей части этой секции.

Очень часто оказывается, что в ДФА моделях образцы выплат считаются детерминированными. Это может быть оправдано тем, что образцы выплат претерпевают незначительные колебания от года к году. Однако, мы считаем, что, если мы хотим должным образом учесть в ДФА модели резервный риск, то мы должны построить стохастическую модель для времени выплат.

 

Вообще, для каждого из предшествующих лет возникновения убытков величина убытков выплаченная к текущей дате известна. Рисунок 2.1. демонстрирует этот факт. Треугольник слева от жирной линии – треугольник убытков – представляет эмпирические, т.е. произошедшие, выплаты; а остальная площадь графика – будущие или еще не произошедшие выплаты, которые не известны. Например, если у нас сейчас конец 2000го года ( t₀ = 2000 ), и мы рассматриваем год возникновения убытков 1996 ( = t₀ – 4), тогда мы знаем величины убытков, произошедших в 1996 году, а оплаченных в 1996, 1997, …, 2000 годах. Но мы не знаем какие объемы убытков должны быть выплачены в 2001 году и позднее. Некоторые очень популярные актуарные методики для оценки еще не оплаченных убытков, которые характеризуются теми ячейками (t₁ , t₂ ), где t₁ Ј t₀, и лежат справа от жирной линии на рисунке 2.1., базируются на определении среднего образца выплат исходя из данных, представленных в треугольнике убытков.

Рисунок 2.1. Оплаченные убытки (верхний левый треугольник), неоплаченные убытки, будущие убытки.

В упрощенном описании модели в этой секции мы не будем учитывать тот факт, что образец выплат для единичных крупных убытков отличается от образца для средних выплат. Мы также не будем обращать внимания на изменения темпов инфляции в будущем, хотя оно может иметь заметное влияние на некоторые виды бизнеса.

Для каждого вида страхования мы вводим год окончания выплат t, когда все убытки произошедшие в некотором году будут полностью оплачены. Платежи нарастающим итогом, обозначенные Z_t1,t2 , известны для лет предшествующих началу моделирования t₁ + t₂ £ t₀. Полная величина выплат Z_t1^u = Z_t1,0 + Z_t1,1+…+ Z_t1,t меняется в зависимости от года возникновения убытков t₁. Чтобы рассчитать резервы убытков, принимая во внимание резервный риск, мы первым делом должны научиться моделировать случайные выплаты Z_t1,t2. Вторым шагом будет создание процедуры, позволяющей определить полную величину убытков Z_t1^u на любой момент времени в будущем.

Мы будем разделять два случая: Во-первых, мы рассмотрим моделирование предстоящих выплат, для убытков, произошедших в годы, предшествующие началу имитации, а затем обратимся к моделированию выплат по еще не произошедшим убыткам.

Для лет возникновения, предшествующих началу имитации ( t₁ £ t₀ ), выплаты Z_t1,t2 при t₁ + t₂ £ t₀ известны. Мы используем их как базис при прогнозировании будущих выплат. Мы использовали Цепной метод , т.е. применили коэффициенты к платежам за предшествующий период для каждого года возникновения убытков. Мы определили следующий тип факторов развития убытков:

           (2.23)

Заметьте, что это отношение имеет другой вид, чем стандартный коэффициент в Цепном методе. Когда мы будем говорить в этой Секции о факторах развития (резерва) убытков, мы всегда будем понимать под ними коэффициенты определенные формулой (2.23).

 

Поскольку Логнормальное распределение является обычно хорошей аппроксимацией для наблюдавшихся в прошлом значений факторов развития убытков, то мы будем использовать следующую модель для предстоящих выплат в календарные годы t₁ + t₂ £ t₀ + 1 для убытков, произошедших до начала имитации:

           (2.24)

Здесь Z_t1,t2 ~ LogN( m_t2, s_t2² ); m_t2 – оцененное на основании статистических данных логарифмическое среднее для фактора развития убытков для года развития t₂; s_t2 – оцененное на основании статистических данных логарифмическое стандартное отклонение для фактора развития убытков для года развитияt₂.

Данная модель способна прогнозировать реалистические значения выплат, если не произошло структурных изменений в статистике выплат. Однако, если для некоторого года возникновения убытков t₁ £ t₀ слишком большая доля убытков была выплачена в первые годы развития t₂ £ t₀ – t₁, то данный подход будет давать увеличение резерва убытков, поскольку факторы развития слишком велики, что приведет к завышению величины не оплаченных убытков. Следовательно, единичные крупные выплаты должны рассматриваться отдельно. Иногда на страховые компании оказывает сильное влияние изменение законодательства. Подобные непредсказуемые изменения несут с собой огромный риск. Примером здесь может служить проблема асбестоза. Подобные особые случаи должны, вероятно, рассматриваться отдельно.

Полная величина выплат для лет предшествующих году, в который проводится моделирование, рассчитывается как

Z_t1^u = Z_t1,0 + Z_t1,1 +…+ Z_t1,t           (2.25)

Вторым видом страховых выплат являются выплаты по убыткам, которые произойдут в ходе моделирования, т.е. при t₁ ³ t₀ + 1. Компоненты полного объема убытков, которые произойдут в эти годы уже рассматривались в Секциях 2.3 и 2.4:

           (2.26)

Здесь N_t1^j(k) – число не катастрофических убытков, произошедших в году t₁ для вида бизнеса k и класса обновления j, смотрите (2.17). X_t1^j(k) – величина отдельных не катастрофических убытков, произошедших в году t₁ для вида бизнеса k и класса обновления j, смотрите (2.19). b_t1(k) – рыночная доля рассматриваемой компании в году t₁ в виде страхования k. M_t1 – число катастроф в году t₁, смотри (2.20). Y_t1^k_i – величина общеэкономического убытка при катастрофе номер i, произошедшей в году t₁ , приходящаяся на вид бизнеса k, смотри (2.22). R_t1(k) – доля перестраховщиков, функция от Y_t1^k_i, зависящая от перестраховочной программы рассматриваемой компании.

Остается выполнить моделирование выплаты (нарастающим итогом) полученных полных величин выплат. Поэтому мы будем прогнозировать коэффициентыA_{t1, t2} – доли полного объема убытков, с использованием Бета распределений, параметры которых зависят от образцов выплат в предыдущие календарные годы:

           (2.27)

Где B_t1,t2 – страховые выплаты нарастающим итогом, произведенные в году t₂ по убыткам произошедшим в году t₁, в зависимости от невыплаченных убытков, произошедших в году t₁. Данная величина имеет Бета распределение с параметрами a и b, оба параметра больше – 1.

 

Параметры распределения должны быть подобраны так, чтобы:

           (2.28)

Здесь m_t1,t2 – оценка среднего значения выплат за год развития t₂ по убыткам, произошедшим в году t₁, в отношении невыплаченных сумм, базируясь на данных о . v_t1,t2 – оценка дисперсии, построенная на основании тех же данных.

Может случиться так, что подобрать a и b, удовлетворяющие (2.28), не удастся. Это означает, что оцененная дисперсия достигла максимума
(1 – m_t1,t2) m_t1,t2 дисперсии возможного для Бета распределения при среднем m_t1,t2. В этом случае мы считаем, что для B_t1,t2 можно использовать распределение Бернулли, с параметром m_t1,t2 поскольку у этого распределения дисперсия соответствует максимальному значению для Бета распределения. Таким образом, мы ограничиваем максимальную дисперсию значением
(1 – m_t1,t2) m_t1,t2.

Для каждого из будущих лет возникновения убытков (t₁ ³ t₀ + 1) мы наконец рассчитываем выплаты в году развития t₂:

Z_t1,t2 = A_t1,t2 Z_t1^u           (2.29)

Теперь мы знаем как моделировать выплаты нарастающим итогом. Однако мы до сих не предложили способа расчета резервов в каждый из моделируемых моментов. Для каждого из периодов возникновения убытков t₁ мы строим такую оценку полного объема убытка после каждого года развития убытков t₂:

           (2.30)

Здесь m_t – оценка логарифмического коэффициента развития убытка для года развития t, основанная на статистических данных. Z_t1,t – полученная в ходе имитации величина убытков, в произошедших году t₁ , которые должны быть выплачены в году развития t ; см. (2.24) и (2.29).

Заметьте, что (2.30) есть оценка полной величины убытков получаемая в конце календарного года t₁ + t₂ , в то время как (2.26) представляет собой реальноезначение будущих выплат. Резерв в отношении убытков, произошедших в году t₁ , в конце календарного года t₁ + t₂ определяется разностью между оцененной величиной убытков Z_{t1, t}^UE и произведенными к этому моменту выплатами по убыткам произошедшим в году t₁. Риск резервов реализуется в виде флуктуаций разности между проимитированными нами реальными произошедшими убытками и рассчитанной на основании проимитированных выплат оценкой произошедших убытков.

Похожим же способом мы можем рассчитать оценку дисконтированных выплат по убыткам, произошедши в году t₁. Заметьте, что дисконтируются только будущие выплаты, в то время как уже оплаченные убытки берутся по номиналу:

           (2.31)

Где R_t,T – текущая процентная ставка в момент t для инвестиций сроком T. m_t – оценка логарифмического коэффициента развития убытка для года развития t, основанная на статистических данных. Z_t1,t – полученная в ходе имитации величина убытков, произошедших в году t₁ , которые должны быть выплачены в году развития t; см. (2.24) и (2.29).

Интересующиеся могут взглянуть на стохастические модели для резервов убытков в Christofides [8] или Taylor [40].